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托管班趣味补充作业:让孩子立刻爱上数学的10个算术游戏 !

安东教培业师训 2019-08-11 14:26:45


老师吧




经常托管班作业辅导老师都知道,我们会经常常常看到老师和家长焦虑,孩子学习数学不着道。


其实数学学习中有好多好多乐趣哦!


不信?今天跟老师吧一起读读matrix67大神的这篇文章,里面包含作者精心选择的10个老少咸宜的算术问题,以定理、趣题甚至未解之谜等各种形式带领大家窥探数学世界的一角。不少问题背后都蕴含了深刻的数学知识,触及到数学的各个领域。


希望大家能够喜欢上数学这门充满乐趣的学科。

数字黑洞 6174


任意选一个四位数(数字不能全相同),把所有数字从大到小排列,再把所有数字从小到大排列,用前者减去后者得到一个新的数。重复对新得到的数进行上述操作,7 步以内必然会得到 6174。


例如,选择四位数 6767:


7766 - 6677 = 1089

9810 - 0189 = 9621

9621 - 1269 = 8352

8532 - 2358 = 6174

7641 - 1467 = 6174

……


6174 这个“黑洞”就叫做卡普雷卡尔Kaprekar常数。对于三位数,也有一个数字黑洞——495。

3x + 1 问题


从任意一个正整数开始,重复对其进行下面的操作:如果这个数是偶数,把它除以 2 ;如果这个数是奇数,则把它扩大到原来的 3 倍后再加 1 。你会发现,序列最终总会变成 4, 2, 1, 4, 2, 1, … 的循环。


例如,所选的数是 67,根据上面的规则可以依次得到:


67, 202, 101, 304, 152, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17,

52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ...


数学家们试了很多数,没有一个能逃脱“421 陷阱”。但是,是否对于 所有 的数,序列最终总会变成 4, 2, 1 循环呢?


这个问题可以说是一个“坑”——乍看之下,问题非常简单,突破口很多,于是数学家们纷纷往里面跳;殊不知进去容易出去难,不少数学家到死都没把这个问题搞出来。


已经中招的数学家不计其数,这可以从 3x + 1 问题的各种别名看出来: 3x + 1 问题又叫 Collatz 猜想、 Syracuse 问题、 Kakutani 问题、 Hasse 算法、 Ulam 问题等等。


后来,由于命名争议太大,干脆让谁都不沾光,直接叫做 3x + 1 问题算了。


直到现在,数学家们仍然没有证明,这个规律对于所有的数都成立。

特殊两位数乘法的速算


如果两个两位数的十位相同,个位数相加为 10,那么你可以立即说出这两个数的乘积。如果这两个数分别写作 AB 和 AC,那么它们的乘积的前两位就是 A 和 A + 1 的乘积,后两位就是 B 和 C 的乘积。


比如,47 和 43 的十位数相同,个位数之和为 10,因而它们乘积的前两位就是 4×(4 + 1)=20,后两位就是 7×3=21。也就是说,47×43=2021。


类似地,61×69=4209,86×84=7224,35×35=1225,等等。


这个速算方法背后的原因是,(10 x + y) (10 x + (10 - y)) = 100 x (x + 1) + y (10 - y) 对任意 x 和 y 都成立。

幻方中的幻“方”


一个“三阶幻方”是指把数字 1 到 9 填入 3×3 的方格,使得每一行、每一列和两条对角线的三个数之和正好都相同。下图就是一个三阶幻方,每条直线上的三个数之和都等于 15。



大家或许都听说过幻方这玩意儿,但不知道幻方中的一些美妙的性质。例如,任意一个三阶幻方都满足,各行所组成的三位数的平方和,等于各行逆序所组成的三位数的平方和。对于上图中的三阶幻方,就有


816² + 357² + 492² = 618² + 753² + 294²


利用线性代数,我们可以证明这个结论。

天然形成的幻方



从 1/19 到 18/19 这 18 个分数的小数循环节长度都是 18。把这 18 个循环节排成一个 18×18 的数字阵,恰好构成一个幻方——每一行、每一列和两条对角线上的数字之和都是 81 


(注:严格意义上说它不算幻方,因为方阵中有相同数字)。

196 算法


一个数正读反读都一样,我们就把它叫做“回文数”。随便选一个数,不断加上把它反过来写之后得到的数,直到得出一个回文数为止。例如,所选的数是 67,两步就可以得到一个回文数 484:


67 + 76 = 143

143 + 341 = 484


把 69 变成一个回文数则需要四步:

69 + 96 = 165

165 + 561 = 726

726 + 627 = 1353

1353 + 3531 = 4884


89 的“回文数之路”则特别长,要到第 24 步才会得到第一个回文数,8813200023188。


大家或许会想,不断地“一正一反相加”,最后总能得到一个回文数,这当然不足为奇了。事实情况也确实是这样——对于 几乎 所有的数,按照规则不断加下去,迟早会出现回文数。


不过,196 却是一个相当引人注目的例外。数学家们已经用计算机算到了 3 亿多位数,都没有产生过一次回文数。从 196 出发,究竟能否加出回文数来?196 究竟特殊在哪儿?这至今仍是个谜。

Farey 序列


选取一个正整数 n。把所有分母不超过 n 的 最简 分数找出来,从小到大排序。这个分数序列就叫做 Farey 序列。例如,下面展示的就是 n = 7 时的 Farey 序列。



定理:在 Farey 序列中,对于任意两个相邻分数,先算出前者的分母乘以后者的分子,再算出前者的分子乘以后者的分母,则这两个乘积一定正好相差1 !


这个定理有从数论到图论的各种证明。甚至有一种证明方法巧妙地借助 Pick 定理,把它转换为了一个不证自明的几何问题!

唯一的解


经典数字谜题:用 1 到 9 组成一个九位数,使得这个数的第一位能被 1 整除,前两位组成的两位数能被 2 整除,前三位组成的三位数能被 3 整除,以此类推,一直到整个九位数能被 9 整除。


没错,真的有这样猛的数:381654729。其中 3 能被 1 整除,38 能被 2 整除,381 能被 3 整除,一直到整个数能被 9 整除。这个数既可以用整除的性质一步步推出来,也能利用计算机编程找到。


另一个有趣的事实是,在所有由 1 到 9 所组成的 362880 个不同的九位数中,381654729 是唯一一个满足要求的数!

数在变,数字不变


123456789 的两倍是 246913578,正好又是一个由 1 到 9 组成的数字。


246913578 的两倍是 493827156,正好又是一个由 1 到 9 组成的数字。


把 493827156 再翻一倍,987654312,依旧恰好由数字 1 到 9 组成的。


把 987654312 再翻一倍的话,将会得到一个 10 位数 1975308624,它里面仍然没有重复数字,恰好由 0 到 9 这 10 个数字组成。


再把 1975308624 翻一倍,这个数将变成 3950617248,依旧是由 0 到 9 组成的。


不过,这个规律却并不会一直持续下去。继续把 3950617248 翻一倍将会得到 7901234496,第一次出现了例外。

三个神奇的分数


1/49 化成小数后等于 0.0204081632 …,把小数点后的数字两位两位断开,前五个数依次是 2、4、8、16、32,每个数正好都是前一个数的两倍。


100/9899 等于 0.01010203050813213455 … ,两位两位断开后,每一个数正好都是前两个数之和(也即 Fibonacci 数列)


而 100/9801 则等于 0.0102030405060708091011121314151617181920212223 … 


利用组合数学中的“生成函数”可以完美地解释这些现象的产生原因。






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