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专题丨场外期权定价的波动率选择——基于UVM模型

华宝财富魔方 2020-06-24 07:38:17

▎分析师/奕丽萍

1.单鲨型期权定价与波动率

波动性在金融衍生品的定价、交易策略以及风险控制中扮演着相当重要的角色。可以说没有波动性就没有金融市场,但如果市场波动过大,而且缺少风险管理工具,投资者可能会担心风险而放弃交易,使市场失去吸引力。一般来说,波动率分为两种,历史波动率和隐含波动率。历史波动率是指以标的资产历史价格计算出来的波动率,一般采用每日市场价格收益率的标准差来计算,代表过去的波动规律;而隐含波动率则是把期权价格代入期权定价模型里反推出来的波动率,代表市场对标的证券未来一段时间内波幅的预期。在实际运用中,通过隐含波动率指数可以了解市场的恐慌情绪,中长期上对判断市场未来走势有一定的预示作用。一般来说,股票期权的隐含波动率与股票价格呈现密切的负相关关系。由于存在这种负相关关系,偏向做多股票期权波动率的策略可以作为对冲工具,为投资组合提供下行保护。 


波动率是期权的价格的一个重要的指标。由于期权的价格受由市场供求关系来决定的,这一点与其他市场的价格决定机制是一样的。但是在期权的交易中,波动率是用来判断期权价格合理性的主要指标。我们可以通过期权的价格公式反推出隐含波动率,这时就可以将隐含波动率和以实现波动率进行比较。如果投资者想比较不同标的的期权的价格水平,那么投资者可以通过比较两个资产的波动率来判断期权价格的相对水平。因此,无论两个资产的价格相差多少,我们可以通过隐含波动率来判断两个标的之间的相对价格水平。

单鲨型期权在定价时,主要采用“复制”的方式用标的资产拟合出所卖期权 的收益结构,期间所发生的成本即为期权 的价格,这种“复制”手法的主要理论基础是动态delta对冲。在此过程中,波动率扮演着两个重要角色:一是对标的资产未来走势进行预测,并生成相应的模拟路径;二是作为重要参数,参与delta值的计算。

2.波动率风险

在上文叙述中可知,波动率在期权定价中尤为重要,特别是在本文提及的单鲨型期权定价(复制)过程中,波动率是一个相当重要的参数。在这个定价过程中存在两个涉及波动率的重要问题:

第一该方法假定波动率为常数,然而波动率的集聚现象的探明,却在某从程度上将其证伪,使之成为一个较强的假定,这就导致了vega风险,由于目前国内场内期权市场刚刚起步,品类尚不完善,无法利用期权有效对冲vega风险,不过在此框架下,这个假定很难改变,因此不在本文讨论之列;

第二该方法假定用于生成模拟路径的波动率与计算delta的波动率相同,这意味着期权卖方在做delta对冲时要知道真实的波动率,然而这并不现实,因为期权交易的产生很大一部分原因是交易双方对波动率的预期相左,即无法获知真实波动率,一旦能够获知真实波动率,那么所有预期都将一致,也就不会有交易产生,因此猜错真实波动率的风险就显得尤为重要。

此外还需阐明的是,单鲨型期权的波动率与香草期权不同。香草期权的价格与其波动率单调正相关,即波动率越高,香草期权价格越高,且二者关系是个单调函数,而单鲨型期权的价格及其波动率之间的关系是二次的,随着波动率的增加,鲨式期权的价格先上升后下降。这种价格与波动率的二次关系形成的主要原因是障碍价格的存在,当波动率较小时,标的资产价格触碰障碍价格的可能性很小,此时障碍价格几乎“形同虚设”,因此二者关系表现出类似香草期权的模式,即随着波动率的上升,期权价格单调上升。而随着波动率的进一步上升,标的资产价格触碰障碍价格的概率越来越高,障碍价格无法继续被“忽视”,因此随着波动率的上升,敲出概率也上升,在敲出无补偿或补偿足够低的条件下,单鲨型期权价格会随之下降,波动率的临界点大概在0.15-0.2左右。


最后,波动率两个极端值的选择要注意,由于存在临界点,因此波动率区间要选择单侧,否则无法纳入“最坏情况”。

下面以单鲨看涨期权为例,模拟一下UVM模型的效果

假设无风险利率为0.04,手续费率为万分之二十三,执行价格为9月1日沪深300指数收盘价的100%,敲出价格为9月1日沪深300指数收盘价的115%,蒙特卡洛模拟的次数为10万次,步长为59,当delta绝对值超过1时,将其强制限定为1。

由下方图表可以看出,随着波动率的上升,平均成本下降,且UVM比原始方法的平均成本要高;而最高成本方面UVM方法开始时比原始方法更优,但随着波动率的上升,UVM方法开始出现劣势。




4.主动偏差设定波动率方法(Active Deviation Setting Volatility)

由于UVM方法在最高成本方面,随着波动率的上升,可能出现高于原始方法的风险,因此并非一个全局最优方法。借鉴UVM的思路,考虑最坏的情形来设定波动率,但不设置转换机制是一种更加简单易行的方法,这也就等价于反过来利用本文开始时提出的第二个问题:猜错真实波动率会有何影响。

通过前文的分析可知,对于单鲨型期权来说,一旦波动率超过0.2,波动率越低,期权卖方所面临的情况越糟;波动率越高,期权买方面临的情况越糟。因此对于期权卖方而言,想要利用波动率错估,应当主动低估波动率。采用上例的参数,我们可以在事先知道真实波动率的情况下(因为路径生成依赖于我们所设定的波动率,因此我们设定的波动率就是标的资产路径的真实波动率),通过不同程度地主动低估波动率来观察低估波动率的影响。



通过观察上面两表,可以发现,从平均成本来看,主动低估法并未显著提高平均成本,并且符合波动率越低平均成本越高的特征;从最高成本来看,主动低估法能够较为有效地降低最高成本而减小期权卖方的极端风险而不像UVM法可能造成最高成本更高的情况,不过随着低估的幅度越来越大,最高成本也呈现出“微笑”的特征。因此在波动率不确定的情况下,我们可以通过主动低估波动率即设定一个较低波动率的方式,在一定程度上构造一个“保护垫”来减少波动率的不确定性带来的风险。但如果低估过度,由于“微笑”效应可能反而造成更高的损失,低估波动率的幅度并不可随意设置,而需要进一步研究来确定最优幅度。

然而主动低估波动率的方法和UVM法在真实波动率高于0.7时均“失效”,我们需要继续搜寻更优的方法,同时也为了使研究更为完整,需要考虑主动高估波动率的情况。经过数值计算可以发现,真实波动率处于0.3-0.5区间时,主动高估波动率会使最高成本先变高后变低,而真实波动率处于0.6-0.8区间时,最高成本会持续下降;而平均成本方面,主动高估波动率会使平均成本持续下降,但下降幅度不大。

将主动高估波动率和主动低估波动率的方法进行对比可以发现,主动高估波动率方法下的最高成本在波动率高估超过一定程度后可能持续减小,但效果远不及主动低估波动率的方法。综合来看,在每次进行对冲前,需要先预测波动率,再在预测波动率处于0.6及以下时,采用主动低估波动率的方法,低估程度大概在0.1和0.2左右,具体数值可以参考表中数据,而预测波动率超过0.7时建议主动高估波动率,这种对预测波动率高估和低估的做法将提供一个压力缓冲区间,虽然可能由于最初的预测波动率并非真实波动率,使得低估或高估无法达到最优的情况,但可以使之在一定程度上减少触发最高成本的风险,不过初始预测波动率与真实波动率相差过大的话,则有可能反而造成更多的损失。



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