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杨朝强:一类特殊混合跳-扩散模型的欧式回望期权定价

华东师范大学学报自然科学版 2019-12-01 07:13:45

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摘  要

利用分数Girsanov公式和分数Wick-Itô-Skorohod积分,建立了一个基于标准布朗运动、分数布朗运动、Poisson过程的线性组合的金融市场模型,结合Merton假设条件以及风险资产所满足的随机微分方程的Cauchy初值问题,给出了混合跳-扩散模型下的欧式看跌期权定价的Merton公式,给出了混合跳-扩散分数布朗运动下连续支付红利的欧式固定履约价和浮动履约价的看涨回望期权及看跌回望期权定价公式.数值模拟与仿真结果验证了模型的有效性和准确性.

关键词:混合跳扩散分数布朗运动;Merton假设条件;分数Wick-Itô-Skorohod积分;欧式回望期权  

Pricing European lookback option by a special kind of mixed jump-diffusion model

YANG Zhao-qiang    


Abstract: By using fractional Girsanov formula and fractional Wick-Itô-Skorohod integral, based on a linear combination of Brownian motion, fractional Brownian motion and Poisson process, a new market pricing model is built. Under the conditions of Merton assumptions, we analyze the Cauchy initial problem of stochastic parabolic partial differential equations. Then the pricing Merton-formula of European option meets the pricing model for the European fixed strike and floating strike price of the lookback option. Finally the pricing formulas of fixed strike and floating strike lookback call option and lookback put option are proved. Numerical simulations illustrate that our model are valid and accurate.

Key words: mixed jump-diffusion fractional Brownian motion;Merton assumptions    fractional Wick-Itô-Skorohod integral;European lookback option    

基金项目:兰州财经大学青年教师科研项目(Lzufe2017)

作者简介:杨朝强, 兰州财经大学 图书馆经典资料室 (兰州 730101), 研究方向为随机过程与金融数学.

0 引言

近年来关于抛物型随机偏微分方程模型的研究越来越受到学者们的关注, 抛物型随机偏微分方程理论已经被广泛应用于随机过程与随机分析、金融数学与金融工程、运筹学与控制论等领域.混合分数布朗运动(mfBm)模型是一类特殊的抛物型随机微分方程, 是高斯过程的衍生过程.众所周知的期权定价理论是金融数学和金融工程的核心理论, 混合分数布朗运动是布朗运动和分数布朗运动的线性组合, 已经被广泛地应用于期权定价理论.文献[1]最早把布朗运动和分数布朗运动组合在一起研究了欧式期权的定价;文献[2]研究了混合分数布朗运动样本轨道的Holder连续性和自相似性; 文献[3-6]已经多次应用跳-扩散模型来刻画股票价格的随机跳行为, 并给出了相应的期权定价公式, 但这种跳-扩散模型无法处理Wick积分, 同时无法定义适合的随机积分来刻画股价的变化, 于是使用混合分数布朗运动来刻画金融资产的波动过程是比较合理的[7-10].由于分数布朗运动的Itô公式和分数Wick-Itô-Skorohod积分所建立的Black-Scholes (简称B-S模型)已经远远超越了B-S模型的定义和属性, 学者们发现所建立的分数B-S模型不能准确地描述资产的浮动收益和金融市场的波动情形[9].事实上, 由于分数布朗运动的自相似性、厚尾性和长程关联性, 使得分数布朗运动既不是Markov过程又不是半鞅, 这给随机分析和随机计算带来了极大的困难.于是有些学者[11-12]提出用混合跳-扩散分数布朗运动(mj-dfBm)模型来刻画金融市场的波动行为.

本文研究一类特殊的混合跳-扩散分数布朗运动模型, 不同于文献[12]的混合跳-扩散分数布朗运动模型, 本文的模型是基于标准布朗运动、分数布朗运动、Poisson过程的线性组合, 利用Itô公式和分数Wick-Itô-Skorohod积分建立了一个新的市场定价模型, 给出了连续支付红利的欧式固定履约和浮动履约回望期权的定价公式, 为了刻画利率的异常波动情形.最后给出的数值模拟与仿真验证了模型的有效性.结果表明, 本文的混合跳-扩散分数布朗运动模型便于计算, 可操作性强, 不但能有效地刻画金融市场的隐含波动率的变化, 而且能够合理地解释金融市场的“微笑现象”.


原文发表在《华东师范大学学报(自然科学版)》2017年第四期

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