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Black-Scholes期权定价公式批判

期权宽客 2019-08-11 12:49:55

Black-Scholes期权定价公式,也称为Black-Scholes-Merton公式(下称BSM),是期权定价的数理模型,也是金融学里最重要的公式之一。著名的《黑天鹅》作者Taleb对BSM提出了批判。Haug和Taleb(2011年)提出以下观点:一、在1973年BSM发表的很久之前就已经存在这个公式,Black、Scholes和Merton只不过证明了这个公式,而不是提出公式;二、交易员并不严格按照BSM公式交易期权;三、BSM并不能始终有效地定价。
BSM在Black,Scholes和Merton之前就已存在
最早的期权积极交易的记录出现于17世纪。De La Vega(1968年)描述了荷兰的期权交易,并表明当时的交易员已经掌握了一定的定价和对冲的技术。尽管他的书不是专门教大家如何交易期权,但他还是经常提到put-call parity。De Pinto(1771年)甚至明确指出如何将看涨期权转化为看跌期权。
实际上期权有着比我们通常所知的更为丰富的历史。远期合约可以追溯到公元前1750年美索不达米亚人的泥土板。Gelderblom和Jonker(2005年)提到阿姆斯特丹的谷物交易商自1550年开始就使用期权和远期(阿姆斯特丹并不是现有记录里欧洲最早交易期权的地方)。
19世纪末20世纪初,伦敦、纽约、巴黎和其他几个欧洲交易所已经出现了活跃的期权市场。Kairys和Valerio(1997年)讨论了19世纪70年代的美国股票期权市场,并间接提到交易员已可以给复杂的尾部事件(tail events)定价。在最近的一篇文章里面,Mixon(2009a,b)对比过去和现在的期权定价,并得出这样的结论:
19世纪交易员对期权的定价方式似乎与20世纪没有差别。甚至在这些市场之间存在着积极的套利交易。
Mixon(2009a,b)描绘了1917年至1921年相对活跃的外汇期权市场。那时的外汇期权市场已从单笔大量交易进化到小额零售交易。
当1866年Cyrus Field成功用电缆把美洲和欧洲连接起来时,跨洲套利成为可能。尽管美国证券在1800年之后大量在海外销售,但缺乏快速通讯方式成为制约同时在伦敦和纽约市场交易股票数量的瓶颈(Weinstein,1931年)。根据现存的记载(Nelson,1904年),作为期权交易员和套利者,Nelson就其对20世纪初的观察写了一本书——《期权和套利的ABC》。根据其记载,至多每小时500条或每天2000—3000条的信息在伦敦与纽约市场之间通过有线公司传递。每条信息通过有线系统在1分钟内传到对方。Nelson在其《动态对冲》一书中反复提到,采用一种探索式的办法,他能够在没有理论框架下严谨地描述套利生意的一些客观方面:运输股票、为股票买保险的成本、利息成本,以及直接与持有伦敦多头、纽约空头证券的客户交换证券的可能性(以此来节约运输和保险成本)。
根据正式的期权文献,put-call parity最早完整的阐述见于Stoll(1969年),但是他和金融经济学圈内的人都没有提到Nelson。事实上Nelson(1904年)不仅完整地理解了put-call parity,而且还多次提到Higgins(1902年)。
Nelson还不时提到动态delta对冲,并指出它在理论上比实践上更成功。从Nelson所述的各种细节当中,我们可以看出20世纪初期权交易很活跃,并且那时的交易员在定价或对冲的时候并没有无助的感觉。
Herbert Filer是1919年至1960年另外一位活跃的期权交易员。Filer(1959年)还描绘了20世纪20年代初纽约和欧洲期权市场交易的活跃程度。由于第二次世纪大战,期权在欧洲的交易所没有交易,伦敦市场也直到1958年才重新开市。根据Nelson的记载,自1900年代开始伦敦的期权交易员被认为是(交易技术)最复杂的。由此我们猜测,第二次世界大战以及随后多年关闭期权交易是期权稳健(robust)套利原则失传的原因。而这一稳健套利原则被金融学教授,如Stoll(1969年)重新发现。
在更早的文献里,put-call parity有着两个目的:一是作为纯粹的套利约束;二是实现如下目的的工具——从看跌期权中复制看涨期权、从看涨期权里复制看跌期权,以及为了以期权对冲期权风险的从看涨和看跌期权里面复制跨式期权等。换句话说,put-call parity不仅是简单的套利关系,而且成为在期权之间转移风险的一种重要工具。
与后来的理论不同,对put-call parity早期的描绘和使用当中,人们认为期权的供给和需求将会影响其价格。
Vinzenz Bronzin在1908年出了一本书,在书中他推导了几个公式,与今天的BSM公式高度相似。Bronzin根据稳健的(robust)无套利原则如put-call parity和看涨(跌)期权与远期的关系等,建立了期权的风险中性估值。这被Derman和Taleb(2005年)重新发现。
Henry Deutsch在1910年也描述了put-call parity,但是不及Higgins和Nelson详细。1961年Reinach详细描绘了put-call parity。那时纽约股票交易所专门使用put-call parity进行期权转换的交易员被称为转换者(converters)。Reinach写道:“尽管我不能用数字证实我的判断,但是我估计看涨期权当中有60%是由转换者完成的。”
换句话说,转换者(经纪商)的基本功能是做市商,但是他们通过“静态”的以期权对冲期权,能够把大部分风险对冲掉。Reinach写道他是一个期权交易员(converter),并列举了他和同事如何利用期权对期权进行对冲和套利的例子,这一过程中利用了可转债当中隐含的期权。
“(期权)的发行人和交易员找到了除了发行看跌(涨)期权之外的获利办法。这些大多过于复杂而只有经验丰富的专家才能掌握。一个这样的过程便是可转债的所有者卖出一份看涨期权。如果看涨期权被要求执行则交付股票。”
Higgins,Nelson和Reinach都描述了put-call parity和用期权对冲期权的重要性。在BSM公式问世之前,期权交易员绝对不是束手无策的。Higgins(1902年)和Nelson(1904年)已经描述了静态市场中性delta对冲。同样,江恩(1937年)也提出了平值期权的市场中性delta对冲,但是比Nelson(1904年)的篇幅要少很多。江恩还提到了某种形式的辅助动态对冲。
Mills(1927年)说明了在现代投资组合理论诞生之前的文献里面如何表现跳跃(jump)和肥尾事件。他写道:“由于一两个极端价格变化的影响,(价格的)分布很可能显著偏离高斯分布。”
交易员并未按照理论公式交易期权
交易员是实践者,也是工程师兼艺术家,他们的信息是有限的(不完备、不完美),理性是有界的,他们不会给未来世界的所有状态赋予概率权重然后再求和(积分)。因此,他们并不作估值(valuation),这是理论模型在实践当中遇到的最大问题。
交易员不进行绝对定价,而是相对定价。经典的例子是Lucas 的苹果树。如果世界上只有一棵苹果树,每个时期只结一个果子,那么我们如何给这棵树定价?理论研究者立刻蜂拥而至,从人对风险和时间的偏好与选择出发,给出一个理性的代表性消费者会支付多少货币来换取这个苹果。但是交易员却说:我们可以根据香蕉的价格给苹果定价。
理论家讲故事的背景是荒凉的沙漠之中,世界上只有一个人面对一个苹果,他该如何在不同的空间和时间分配这个苹果的消费计划。交易员则面对着一个纷繁复杂的世界:各种各样的苹果、香蕉和榴莲等,苹果的价格取决于其他苹果或香蕉卖多少钱。
理论家在绝对理性的假设下对人类的行为进行预测。交易员的思维则是启发、探索式的,是有限理性的。他们要在各种交易工具之间做出权衡选择。一些稳健的关系,譬如put-call parity,则是他们交易的基础。
BSM并不能始终有效地定价
1.BSM的假设与现实不符
BSM的诸多假设当中,可以连续时间的对冲和不变的波动率,这两个是最不合理且与现实相差最大的假设。
BSM假设没有交易成本,但是在真实交易当中,尤其是BSM假设可以连续地动态对冲,交易成本、冲击成本等是绝对不可以忽略的。尤其是离散时间价格当中还存在价格的跳跃,这是连续时间动态对冲无法处理的。实际上,现实交易当中行静态对冲也是很不错的选择。BSM的另外一个重大问题则是波动率建模,虽然现实交易当中交易员不断调整隐含波动率,但是高斯分布的一个属性就是只要不断调整波动率,几乎可以得到绝大多数的分布。这样交易员实际上可以拟合任意的分布。
2.在极端市场情况下,一切常规模型都将失效
当“尾部事件”发生时,如“黑天鹅”闪现,黑色星期一或“911”当天,所有的常规模型都会失效,BSM也不例外。因此现实的解决办法是在日常交易当中使用BSM,同时对极端市场状况采用最坏的情景分析,以备不测。
(期货日报)






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