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美式期权|定价原理与算法

期权世界 2019-09-09 14:53:09

今天的文章会比较technical,需要有一定的数学功底。但没办法,美式期权算是流动性高的期权中最难的一种。如果对原理篇没有明白,其实也不会很影响实际操作,有兴趣但又不能搞懂原理的朋友可以直接跳到算法部分。


1,寒暄篇

美式期权和传统欧式不同的地方在于,美式期权的持权人可以在到期日之前的任意时间行权。由于这种兴行权的灵活性,美式期权的价格总是大于或等于相对应欧式期权的价格的。在现实里,很多个股的期权都是美式,因此美式期权实际上拥有很大的市场。

很多人可能会认为,既然美式期权这么灵活,那么持权人只要在可以获得收益的时候行权不就可以了吗?这有点类似barrier嘛。那可就大错特错了。因为你如果是持权人,即使你的行权可以给你带来收益,你其实还可以选择不行权,而是把期权卖出去。你要对这两种方式的收益进行比较,如果行权带来的收益大,则行权,若卖出收益大,则卖出。因为某个时刻期权的价格其实就是在那个时刻期权本身的continuation value,我们在美式期权可以行权时,实际上就是在比较美式期权的continuation value(H_t)与strike value(E_t)。



2,原理篇

实际上,美式期权的定价公式由下式表示



其中N用来表达一个测度。之所以这里不用利率的discount factor是为了保证它更加general。

在实践中,我们往往需要用一个百慕大期权(只有在某些特定日期可以行权)去逼近一个美式期权,我们不妨就假设它只能在下述日期行权



那么对于


因此,结合着最开始的式子,我们现在的美式期权价格就应该满足这个Bellman equation(dynamic programming principle)



起始于



其实也就是一个Backward Induction Algorithm(逆向递推算法)。而根据Dynamic programming,我们其实有最优行权时间就是



3,算法篇

根据上述原理,美式期权的定价和其他期权相类似,但区别在于要进行一个strike value和continuation value的比较。

举个例子,在GBM的setting下,美式call的PDE和terminal condition和欧式call是一模一样的,但不同之处在于在solve pde的过程中每一步都要比较一下节点上strike value和continuation value的大小。如果strike value更大,则在这点用strike value来替代原有的continuation value。这便是美式期权定价的PDE方法。但和传统PDE方法一样,这种方法对于高维度和强路径依赖问题比较鸡肋。

另外还有一种在业内更为广泛使用的定价方法,叫作最小二乘蒙特卡洛法(least square Monte Carlo,简称LSMC),也叫做regression-based Monte Carlo。这种方法的执行策略是这样:


1,正向模拟标的的路径,在terminal time求payoff value
2,往前返回一个时间节点,利用未来的discount value,用regression方法估算当前节点的continuation value;
3,比较当前节点的continuation value与strike value,取二者最大做期权在当前节点价格
4,重复2、3步骤直到初始节点。

很清楚的能发现,LSMC实际上就是把计算continuation value的期望用回归的方法得了出来。因此LSMC在业内被广泛的应用到nested Monte Carlo问题之中。

而且实际上,按照上述LSMC做出来的价格是有bias的。我们可以保留我们在LSMC中得到的在每个时间节点上的regreasion parameters,然后在重新模拟一次MC路径,然后利用这些regression parameters,在新MC路径里重新回归得到continuation value,然后再正向地search每条路径第一次strike value大于continuation value的时刻,然后将这些时刻上的折现期权价格求mean即可。之所以这么做,是因为LSMC在进行定价的同时,其实也通过这些regression parameters得到了这个期权的Optimal strike boundary。而我们第二次MC利用已经Optimal的boundary去search,可以有效的减少误差。

除这两种方法,还有二叉树方法(可以很直观的得到对冲策略的估算),stochastic mesh,以及一些通过人工神经网络的方法,我在这里不讲过多,只希望朋友们能有个大概了解。

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