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期权定价的故事

FAJ的生活 2019-08-19 10:02:16

最早得到期权定价公式的人并非是Fischer Black和Myron Scholes,而是Paul Samuelson和Robert Merton,为什么最后Paul Samuelson没有因期权定价再拿一次诺奖,又为什么期权定价大家只记得Black-Scholes模型?


这一切都源于一个很小的细节,便是股票期待回报(Expected Returns)与期权定价的无关性。


My option formula was within epsilon of the solution. --Paul Sameulson


不妨让我先将这个问题简化,大家也想一想。期权的底物价格改变一定程度的时候,期权本身的价格的变化更大。从这个角度而言,期权本身就是一个杠杆型的股票。由此还衍生出了很多不同的投资策略,并不一定要与期权定价模型相关。


如果将期权看作一个杠杆型的股票的话,那么它的定价应该与股票的期待回报(Expected Returns)相关才对,但是后人都知道Black-Scholes股票期权定价模型中并不含有股票的期待回报,只和下面五个因素有关


  1. )底物的现价

  2. )合约价

  3. )利率

  4. )合约到期时间

  5. )底物波动率


原因到底是什么呢,难道是Black-Schole模型的错误吗?


这一切都要从期权定价的历史开始。


The End of Tortuous Economic Intuition


Rather than derive (warrant pricing) by tortuous economic intuition, let us give the mathematics its head and merely make successive substitutions.  --Paul Samuelson and Robert Merton


和期权定价相关的研究最早始于1827年Robert Brown发现了颗粒在水中的分散状况,布朗运动便是由Robert Brown来命名的。在75年之后博士生Louis Bachelier用布朗运动来描述股价的随机性,随后基于股价与合约价的期待价差推导出了期权的价格,但不被当时的学界所认可,没能进入顶级学术机构做科研。再之后便是1905年爱因斯坦对布朗运动的贡献,推导出了热交换方程。随后是Norbert Weiner 1918年的博士论文,在数学层面上严格定义了布朗运动的假设,为了纪念他,布朗运动也会被称为Weiner Process


再之后便是Franco Modigliani和Merton Miller著名的MM理论,公司的结构与股息政策都与公司估值无关,套利层面的解释启发了后来Fischer Black对期权定价期待回报无关性的思考。


紧接着便是源自Paul Samuelson对期权定价最直接的一次尝试。


其实Paul Samuelson早就对期权定价这个问题思考了超过十年,但数学背景的不足导致了他在这个领域的进展缓慢,直到他碰到了后来的得意门生,Robert Merton。他们假设股票和期权的期待回报分别为alpha和beta,并在期权过期前保持恒定。基于投资者的风险喜好与供需关系的平衡模型,他们拿到alpha与beta的估算。所以他们的方法便是用alpha估算出期权过期时的股价,然后用beta折现差价来估算期权价格。


这个模型最后给出的公式的确是后来期权定价的正确公式,但是alpha和beta取决于投资者的风险偏好,这不应该是期权的性质。更大的问题是之后证明的期权价格与期权,股票的期待回报都无关,整个模型的推导都不需要alpha和beta


Paul Samuelson和Robert Merton与期权正确定价仅一步之遥,这个距离对Paul Samuelson来说是一个episilon,对Robert Merton而言是个数学极限。


My option formula was within epsilon of the solution. --Paul Sameulson


Ironically, had the 'equal yield for equal sigma risk' model I developed ad hoc for Southern California Bank been taken to its continuous-trading limit, it would have led to the Black-Scholes pricing formula. --Robert Merton


From CAPM to Black-Scholes Model


Fischer Black在30岁的时候才开始接触金融,他最早接触的便是Jack Treynor版本的CAPM,对于他而言,期权定价并非是一个效用最大化的动态规划问题,而是一个实时风险敞口的问题。所以他将期权看作一个杠杆性的股票,仅与股价与时间有关,然后用CAPM和简单演算得到了一个微分方程,正是爱因斯坦1905年发布的热交换方程,于此有了我们熟知的Black-Scholes模型。


在那之后Fischer Black与Robert Merton有了旷日持久的争论。对于Merton而言,CAPM这个模型整个都是不完备的。于是他开始找寻Black-Scholes模型中的漏洞。


与此同时,Fischer Black对Robert Merton的观点很不高兴,决定和Myron Scholes一起用另一种方式推导Black-Scholes模型,这次需要脱离CAPM背景。由此提出了Black-Scholes risky hedge


最后Black-Scholes risky hedge也没能让Merton满意,但是却启发了他期权可以通过做空现金,做多股票来动态复制,所有需要知道的信息就是对冲比例w1,所以期权的本质真的就是一个杠杆型股票。随后Merton成功地完成了期权复制,证实了Black的推导没有问题,给Myron Scholes打了电话,说了一句,


You are right. --Robert Merton


所以最后我们所熟知的Black-Scholes-Merton模型其实包括两部分,第一部分是Fischer Black和Myron Scholes提出模型,以及之后的Robert Merton做到动态复制期权。


Fischer Black和Robert Merton之间的关系很微妙。期权定价上两人的争执很凶,但是之后Merton在高盛做学术顾问的时候主动问Black是否有学生适合加入高盛,Black说自己适合加入高盛,便离开了MIT;在高盛的时候Emanuel Derman用Robert Merton的动态复制期权的时候发现复制的期权和理论期权有细微差别,知道这个的时候Fischer Black异常兴奋,说


You know, I always thought there was something wrong with the replication method. --Fischer Black


虽然后面证明了只是程序的错误而已,Robert Merton的复制是完美的。


Why risk free rate in Cox-Russ-Rubinstein model?


或许大家还记得期权定价的市场中性定价(Risk neutral valuation),即用无风险回报(Risk free rate)来折现期权的终止价格。如果不记得,可以回忆一下期权定价的二叉树方法(binomial tree)。


一个很重要的问题是,为什么要用无风险回报来折现,我们相信最后的现金流是无风险的吗?其实并不是,我们也不必相信这个现金流是无风险的。很巧的一点是,我们用任何折现率拿到的期权价格都是一样,这也证明了期权定价与期待回报的无关性。


在此举个例子,

  1. )股票价格明年一年要么上涨30%,要么下跌10%

  2. )股价100

  3. )无风险回报4%


基于这些信息,我们可以看出基于市场中性假设,股票有65%的概率下跌10%,35%的概率上涨30%。一份看涨期权在股价上涨的情况下会值30元,在股价下跌的情况会一文不值。用市场中性定价很容易算出期权的价格为


Cp = (0.35 * 30 + 0.65 * 0) / 1.04 = 10.0962


用随机的期待回报,比方说我们决定用10%的股票期待回报,也就是说50%的概率上涨,50%的概率下跌,期权对股票的杠杆为


(30 - Cp)/ (Cp * 0.4) = 75 / Cp,


那么期权的折现率为


(75 / Cp) * (0.1 - 0.04) + 0.04 = 4.5 / Cp + 0.04


最后期权的价格为


Cp = (0.5 * 30 + 0.5 * 0) / (4.5/Cp + 0.04)


Cp = 10.0962


如果全部用数学来表达可以看出我们的假设最后都会消失,留下 Cox-Russ-Rubinstein model中的市场中性估值。这也是理解期权定价与期待回报无关的一个方式。所以用无风险回报来折现并不代表我们认同最后的现金流是无风险的,只是说明期待回报无关而已。


上述是一个离散的情况,不难想象换成连续的情况也是成立的。


这篇文章偏理论一些;笔者认为理论很重要,能给人很多在实际投资中可操作的想法,有的时候这种想法有很惊人的表现。




以下是本文用到的reference,都是很不错的资源,推荐大家读读。


Sources:

Derman, E., 2004. My life as a quant: reflections on physics and finance. John Wiley & Sons.

Kritzman, M.P., 2002. Puzzles of finance: six practical problems and their remarkable solutions (Vol. 89). John Wiley & Sons.

Mehrling, P. and Brown, A., 2011. Fischer Black and the revolutionary idea of finance. John Wiley & Sons.


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谢谢!

Fred 28/10/2016





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